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<!DOCTYPE html>

<title>Fundamentalsatz der Analysis</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Fundamentalsatz der Analysis</h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">Der Fundamentalsatz der Analysis, auch bekannt als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI), ist ein <a href="Satz_(Mathematik)" title="Satz (Mathematik)">mathematischer Satz</a>, der die beiden grundlegenden Konzepte der <a href="Analysis" title="Analysis">Analysis</a> miteinander in Verbindung bringt, nämlich das der <a href="Integralrechnung" title="Integralrechnung">Integration</a> und das der <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Differentiation</a>. Er sagt aus, dass Ableiten bzw. Integrieren in einem gewissen Sinne jeweils die Umkehrung des anderen ist. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen, die manchmal als erster und zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bezeichnet werden.<a href="#cite_note-1">[1]</a> Die konkrete Formulierung des Satzes und sein Beweis variieren je nach Aufbau der betrachteten Integrationstheorie. Hier wird zunächst das <a href="Riemann-Integral" class="mw-redirect" title="Riemann-Integral">Riemann-Integral</a> betrachtet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Geschichte_und_Rezeption">Geschichte und Rezeption</h2></div>

Bereits <a href="Isaac_Barrow" title="Isaac Barrow">Isaac Barrow</a>, der akademische Lehrer Newtons, erkannte, dass Flächenberechnung (Integralrechnung) und Tangentenberechnung (Differentialrechnung) in gewisser Weise invers zueinander sind, den Hauptsatz fand er jedoch nicht. Der Erste, der diesen publizierte, war 1667 <a href="James_Gregory_(Mathematiker)" title="James Gregory (Mathematiker)">James Gregory</a> in Geometriae pars universalis.<a href="#cite_note-2">[2]</a> Die Ersten, die sowohl den Zusammenhang als auch dessen fundamentale Bedeutung erkannten, waren unabhängig voneinander <a href="Isaac_Newton" title="Isaac Newton">Isaac Newton</a> und <a href="Gottfried_Wilhelm_Leibniz" title="Gottfried Wilhelm Leibniz">Gottfried Wilhelm Leibniz</a> mit ihrer <a href="Infinitesimalrechnung" class="mw-redirect" title="Infinitesimalrechnung">Infinitesimalrechnung</a>. In ersten Aufzeichnungen zum Fundamentalsatz aus dem Jahr 1666 erklärt Newton den Satz für beliebige Kurven durch den <a href="Koordinatensystem" title="Koordinatensystem">Nullpunkt</a>, weswegen er die Integrationskonstante ignorierte. Newton publizierte dies erst 1686 in seiner <a href="Philosophiae_Naturalis_Principia_Mathematica" title="Philosophiae Naturalis Principia Mathematica">Philosophiae Naturalis Principia Mathematica</a>. Leibniz fand den Satz 1677, er schrieb ihn im Wesentlichen in der heutigen Notation nieder.

Seine moderne Form erhielt der Satz durch <a href="Augustin_Louis_Cauchy" class="mw-redirect" title="Augustin Louis Cauchy">Augustin Louis Cauchy</a>, der als Erster eine formelle Integraldefinition sowie einen Beweis mit Hilfe des <a href="Mittelwertsatz_der_Integralrechnung" title="Mittelwertsatz der Integralrechnung">Mittelwertsatzes</a> entwickelte. Enthalten ist dies in seiner Fortsetzung des Cours d’Analyse von 1823. Cauchy untersuchte auch die Situation im <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">Komplexen</a> und bewies damit eine Reihe zentraler Resultate der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a>. Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand man die Erweiterungen auf höhere Dimensionen. <a href="Henri_L%C3%A9on_Lebesgue" title="Henri Léon Lebesgue">Henri Léon Lebesgue</a> erweiterte dann 1902 den Fundamentalsatz mit Hilfe seines Lebesgue-Integrals auf unstetige Funktionen.

Der Hauptsatz wurde im 20. Jahrhundert von dem Mathematiker <a href="Friedrich_Wille_(Mathematiker)" title="Friedrich Wille (Mathematiker)">Friedrich Wille</a> humoristisch in der <a href="Hauptsatzkantate" title="Hauptsatzkantate">Hauptsatzkantate</a> vertont.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erster_Teil">Erster Teil</h3></div>

Der erste Teil des Satzes ergibt die Existenz von <a href="Stammfunktion" title="Stammfunktion">Stammfunktionen</a> und den Zusammenhang von <a href="Differentialrechnung" title="Differentialrechnung">Ableitung</a> und Integral:

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/aa91b80587ee863c353413b3919b8704ef799018.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.776ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Reelle_Zahl" title="Reelle Zahl">reellwertige</a> <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige</a> <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a> auf einem <a href="Intervall_(Mathematik)" title="Intervall (Mathematik)">reellen Intervall</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy">, so ist für jedes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a5b9f415c090a0c29b6b3452805563bfd3eb9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c\in I}" loading="lazy"> die Integralfunktion

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e65c9457aa2a494920f869262515590bf85de0c1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.239ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F\colon I\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2070b8df8c040da55a3728bf3136dc1e1e56c2a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.449ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t}" loading="lazy"></dd></dl>

differenzierbar und eine Stammfunktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, das heißt, für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"> gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F^{\prime }(x)=f(x)}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F^{\prime }(x)=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e1a8bc760c2497a52fda7ebe66908fb3d9a71a66.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F^{\prime }(x)=f(x)}" loading="lazy">.

Dass die Integralfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> auf dem ganzen Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> definiert ist, folgt aus der Tatsache, dass das Riemann-Integral für jede stetige Funktion über jedem kompakten Intervall existiert.

Insbesondere ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> differenzierbar mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1bc24e9d2287452424fe2c8181a07da65bdc8cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.263ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}" loading="lazy">, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> stetig in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> ist. Dabei ist die Differenzierbarkeit einseitig zu verstehen, falls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> Randpunkt des Intervalls <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> ist.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zweiter_Teil">Zweiter Teil</h3></div>

Der zweite Teil des Satzes erklärt, wie Integrale berechnet werden können:

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c5ab61178bf5349838758ffe3d96135406ed0245.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> mit Stammfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/22aae183016ffbb759663208b693d6a28be4e69e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.622ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F\colon [a,b]\to \mathbb {R} }" loading="lazy">, dann gilt die Newton-Leibniz-Formel

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d68d31d9c7f7ed87726895761e95e8e9df17889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:27.129ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x=F(b)-F(a).}" loading="lazy"></dd></dl>

Mit der abkürzenden Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=F(b)-F(a)}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=F(b)-F(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8d5e85901a80aa33e3c9d8badea129f46ff57b1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:24.09ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=F(b)-F(a)}" loading="lazy"> liest sich der zweite Teil als

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64f1c19e7e6af1f23e1706c1bdae069348f15e2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:23.138ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Bemerkung

Die Anforderung, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf ganz <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> stetig ist, lässt sich abschwächen. So kann <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> beispielsweise auch endlich viele Unstetigkeitsstellen in <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> besitzen.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beweis">Beweis</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Erster_Teil_2">Erster Teil</h3></div>

Für den ersten Teil muss gezeigt werden, dass die Ableitung von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy">, also der Grenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}">

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dd7e6ead79c80cc9223318e78b6fdb8aa50b36e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:21.414ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}}" loading="lazy">, existiert und gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy"> ist.

Dazu wird ein beliebiger Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"> gewählt. Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\neq 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\neq 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/944b0b20842d846cb96b36fe95d44dabbc6d19fd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.6ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle h\neq 0}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+h\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+h\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eed41bc737eab7d8394abea176339ec955685398.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:9.521ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+h\in I}" loading="lazy"> gilt dann

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{c}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t-\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t\right)={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2be78fcce7df8fd833ce0f7b36c0fdca7a0af811.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:71.707ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}={\frac {1}{h}}\left(\int _{c}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t-\int _{c}^{x}f(t)\,{\rm {d}}t\right)={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Nach dem <a href="Mittelwertsatz_der_Integralrechnung" title="Mittelwertsatz der Integralrechnung">Mittelwertsatz der Integralrechnung</a> existiert eine <a href="Reelle_Zahlen" class="mw-redirect" title="Reelle Zahlen">reelle Zahl</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{h}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{h}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/621c50c14f608061bb6dee6e61af013c52b4f5b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.198ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi _{h}}" loading="lazy"> zwischen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x+h}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x+h}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fada64bf0345b4e3b386457f437d96ee3560e6ef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.509ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle x+h}" loading="lazy">, sodass

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t=f(\xi _{h}).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b13aa1e97a83e54d5ea26ab31c7c34befa730beb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.289ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(t)\,{\rm {d}}t=f(\xi _{h}).}" loading="lazy"></dd></dl>

Wegen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \xi _{h}\to x}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \xi _{h}\to x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bb47995407ad08db458b502bec147695fdddebf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.141ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \xi _{h}\to x}" loading="lazy"> für <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h\to 0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h\to 0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3f15c1e6800f6e3fca9fec99720fc67a13780215.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.116ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle h\to 0}" loading="lazy"> und der Stetigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> folgt daraus

</mrow>

</munder>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}f(\xi _{h})=f(x),}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b082acf97a129eab10db7ec6ec6b44334bd7ec29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:41.76ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}f(\xi _{h})=f(x),}" loading="lazy"></dd></dl>

d. h. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(x)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d55acc6ba4031d9c1a1b76327f8817d8fbf8bf07.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:5.638ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(x)}" loading="lazy"> existiert und ist gleich <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/202945cce41ecebb6f643f31d119c514bec7a074.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(x)}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Alternativer_Beweis_ohne_Verwendung_des_Mittelwertsatzes_der_Integralrechnung">Alternativer Beweis ohne Verwendung des Mittelwertsatzes der Integralrechnung</h4></div>

Da der <a href="Mittelwertsatz_der_Integralrechnung" title="Mittelwertsatz der Integralrechnung">Mittelwertsatz der Integralrechnung</a> in vielen Texten aus dem Fundamentalsatz gefolgert wird, führen wir hier noch einen Beweis, der lediglich die Definition der Stetigkeit und grundlegende Eigenschaften des Riemann-Integrals verwendet (Linearität, <a href="Dreiecksungleichung" title="Dreiecksungleichung">Dreiecksungleichung</a>, Monotonie und Intervalladditivität):

Wir zeigen wie im Beweis oben, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> an einer beliebigen Stelle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy"> differenzierbar ist mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}">

<msup>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d1bc24e9d2287452424fe2c8181a07da65bdc8cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.263ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(x_{0})=f(x_{0})}" loading="lazy">. Dazu weisen wir die <a href="Grenzwert_(Funktion)#Formale_Definition_des_Limes_einer_reellen_Funktion" title="Grenzwert (Funktion)">Grenzwerteigenschaft gemäß Definition</a> nach, d. h wir zeigen, dass es zu jedem <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> ein <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta >0}" loading="lazy"> gibt, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq \varepsilon }">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a44203741a1eaaca7bc8bbde0f107ea6bc4aa7da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.635ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq \varepsilon }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f149a350dfe960048a67f396aba0d1b6b1c581a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.256ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }" loading="lazy">.

Sei dazu <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varepsilon >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varepsilon >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.344ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varepsilon >0}" loading="lazy"> beliebig. Für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\neq x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\neq x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59cd73ce908e9de3a7b84ffb2ef92312d8b01e91.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.812ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x\neq x_{0}}" loading="lazy"> gilt

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|&=\left|{\frac {1}{x-x_{0}}}\left(\int _{c}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{c}^{x_{0}}f(t)\,\mathrm {d} t\right)-f(x_{0})\right|\\&=\left|{\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-{\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}f(x_{0})\,\mathrm {d} t\right|\\&=\left|{\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}(f(t)-f(x_{0}))\,\mathrm {d} t\right|\\&\leq {\frac {1}{|x-x_{0}|}}\int _{x_{0}}^{x}|f(t)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9be92434fe8be278a0d6e2629f241576ffc1f51.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -12.505ex; width:73.363ex; height:26.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|&=\left|{\frac {1}{x-x_{0}}}\left(\int _{c}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-\int _{c}^{x_{0}}f(t)\,\mathrm {d} t\right)-f(x_{0})\right|\\&=\left|{\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t-{\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}f(x_{0})\,\mathrm {d} t\right|\\&=\left|{\frac {1}{x-x_{0}}}\int _{x_{0}}^{x}(f(t)-f(x_{0}))\,\mathrm {d} t\right|\\&\leq {\frac {1}{|x-x_{0}|}}\int _{x_{0}}^{x}|f(t)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Um den Betrag des Ausdrucks auf der linken Seite weiter abschätzen zu können, benutzen wir die Stetigkeit von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> im Punkt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{0}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/86f21d0e31751534cd6584264ecf864a6aa792cf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.384ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle x_{0}}" loading="lazy">. Diese garantiert die Existenz eines <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \delta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \delta >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/595d5cea06fdcaf2642caf549eda2cfc537958a9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle \delta >0}" loading="lazy">, so dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59c85be121472f6c05895e45cbbdcdbe0b2d4e6e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.205ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f149a350dfe960048a67f396aba0d1b6b1c581a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.256ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }" loading="lazy">. Für diese <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> lässt sich das Integral in der letzten Zeile somit abschätzen durch <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \int _{x_{0}}^{x}|f(t)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} t\leq |x-x_{0}|\varepsilon }">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \int _{x_{0}}^{x}|f(t)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} t\leq |x-x_{0}|\varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c1c610502d6342169094be172561b7fb31e4121f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:31.571ex; height:3.509ex;" alt="{\textstyle \int _{x_{0}}^{x}|f(t)-f(x_{0})|\,\mathrm {d} t\leq |x-x_{0}|\varepsilon }" loading="lazy">; insgesamt erhält man damit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq \varepsilon }">

<mrow>

<mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq \varepsilon }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a44203741a1eaaca7bc8bbde0f107ea6bc4aa7da.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:23.635ex; height:4.843ex;" alt="{\textstyle \left|{\frac {F(x)-F(x_{0})}{x-x_{0}}}-f(x_{0})\right|\leq \varepsilon }" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f149a350dfe960048a67f396aba0d1b6b1c581a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.256ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 0<|x-x_{0}|<\delta }" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Zweiter_Teil_2">Zweiter Teil</h3></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> sei eine stetige Funktion auf dem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy">. Setzt man bei der Integralfunktion des ersten Teils <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=a}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/03427dc88993cb65424fb7e3d6da3390ed6a79dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.335ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle c=a}" loading="lazy">, so ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(a)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(a)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cd2da4bf79f3d76d1887156a3618075f3c355260.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.041ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(a)=0}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cb261ed0f5512d6543c25a418ce9ffb1f8c780a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.862ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle F(b)=\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x}" loading="lazy"> und damit gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a)}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87ec6ad6c7445a578cdbd927b4d49a195dc3ed11.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:25.502ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t=F(b)-F(a)}" loading="lazy"> für diese spezielle Stammfunktion. Alle anderen Stammfunktionen unterscheiden sich von jener aber nur durch eine Konstante, die bei der Subtraktion verschwindet. Somit ist der Satz für alle Stammfunktionen bewiesen.

Bemerkung

Der zweite Teil des Hauptsatzes lässt sich unabhängig vom ersten Teil desselben beweisen, indem man auf die Definition des Riemann-Integrals als Grenzwert von Ober- und Untersummen zurückgreift. Hierbei muss der Integrand nur als Riemann-integrierbar, nicht jedoch als stetig vorausgesetzt werden.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anschauliche_Erklärung">Anschauliche Erklärung</h2></div>

Zur anschaulichen Erklärung wird ein Teilchen betrachtet, das sich entlang einer Geraden bewegt, beschrieben durch die Ortsfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d54c275db3a1e620737b58e143b0818107fa5f5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.979ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(t)}" loading="lazy">. Die Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit ergibt die <a href="Geschwindigkeit" title="Geschwindigkeit">Geschwindigkeit</a>:

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=v(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e5861d7f060f07c94132623bdc79af37934f8444.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.982ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=v(t)}" loading="lazy">.</dd></dl>

Die Ortsfunktion ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion. Rechnet man mit den Differentialen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b637d7a6d64d797391d40ceae9e8696e5d76f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} x}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> wie mit gewöhnlichen Termen, so erhält man aus dieser Gleichung durch Multiplikation mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> die Gleichung

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {d}}x(t)=v(t)\,\mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8ab7ef17934de67dab3a0d4d774ac62a52fe4f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.665ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\rm {d}}x(t)=v(t)\,\mathrm {d} t}" loading="lazy">.</dd></dl>

Diese Gleichung besagt, dass das Teilchen in der unendlich kurzen („<a href="Infinitesimal" class="mw-redirect" title="Infinitesimal">infinitesimalen</a>“) Zeit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} t}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} t}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588a981eb3c6f32c01153f8710a7f70029b5e553.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.132ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} t}" loading="lazy"> eine unendlich kleine Ortsänderung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {d} x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b637d7a6d64d797391d40ceae9e8696e5d76f15.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {d} x}" loading="lazy"> erfährt. Eine endliche Ortsänderung <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5a73839bf6f41b9940a2e657f9cad8820f2adf61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.972ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}" loading="lazy"> ergibt sich als „Summe“ der infinitesimalen Ortsänderungen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {d}}x}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {d}}x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3218aa469425b81ee4cd6ab86616236e8be78a8b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.622ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\rm {d}}x}" loading="lazy">. Da aber das Summieren infinitesimaler Größen dem Integrieren entspricht, ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}-x_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,\mathrm {d} t.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f2491ecfcad726db7184bf916bfb6234020501e2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:22.158ex; height:6.509ex;" alt="{\displaystyle x_{2}-x_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\,\mathrm {d} t.}" loading="lazy"></dd></dl>

Dies ist gerade der zweite Teil des Hauptsatzes mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(t)=v(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(t)=v(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1b26fbe0243d0f57ccc158f1f66ea1750e7f419.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.802ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(t)=v(t)}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(t)=x(t)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(t)=x(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49999c5ea2b8478f4d9bbf55d5ea31197fbc607b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.467ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle F(t)=x(t)}" loading="lazy">, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d8da72841c281c675996a35d001d42d23acd651.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{1}=x(t_{1})}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{2}=x(t_{2})}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{2}=x(t_{2})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e12a6bf583bb9a5fe5e3ee2aad2cc919cae6bf97.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.515ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x_{2}=x(t_{2})}" loading="lazy">.

Setzt man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/19f519ea5873571dc27ee09e1a2892a22af7c7a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.562ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x(0)=0}" loading="lazy">, so erhält man mit dem zweiten Teil des Hauptsatzes <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8e9f30cb62341eefe1b0b3e8e985c07a045867b6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:18.419ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'}" loading="lazy">, woraus einerseits <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'}">

<msup>

</msup>

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0ec613ce24281d0f92775a64fefa2a3921617953.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.46ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle x'(t)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'}" loading="lazy"> folgt. Andererseits ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x'(t)=v(t)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x'(t)=v(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ec8ee55270cf293687edfb0896b8ca34fe9cbdbe.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.538ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle x'(t)=v(t)}" loading="lazy">. Gleichsetzen liefert

<mfrac>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'=v(t)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43b67721130b35012fc6784682d1b522d328f87b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:21.573ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{t}v(t')\,\mathrm {d} t'=v(t)}" loading="lazy">,</dd></dl>

und dies ist die <a href="Kinematik" title="Kinematik">kinematische</a> Version des ersten Teils des Hauptsatzes.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Anwendungen">Anwendungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Berechnung_von_Integralen_durch_Stammfunktionen">Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen</h3></div>

Die hauptsächliche Bedeutung des Fundamentalsatzes liegt darin, dass er die Berechnung von Integralen auf die Bestimmung einer Stammfunktion, sofern eine solche überhaupt existiert, zurückführt.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiele">Beispiele</h4></div>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"> definierte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=x^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=x^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/84ddac4ae10b1aa4a11741c79771a583419fb1fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.9ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)=x^{2}}" loading="lazy"> besitzt die Stammfunktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}">

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/509aefec7ff01c58014990c89979af1dc3ed597f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:11.198ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}" loading="lazy">. Man erhält somit</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,{\rm {d}}x=F(2)-F(0)={\frac {2^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {8}{3}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6d5be0e0f7423c3086669696ca270bd50d8139fc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:41.804ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{2}x^{2}\,{\rm {d}}x=F(2)-F(0)={\frac {2^{3}}{3}}-{\frac {0^{3}}{3}}={\frac {8}{3}}}" loading="lazy">.</dd></dl></dd></dl>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I=[-1,1]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7edb704e6cad4f0d3828511af70f70be8861ccab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:10.731ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle I=[-1,1]}" loading="lazy"> definierte Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle g(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}">

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle g(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/939f81089bf0786497d6bf745de11778dff89287.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.064ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle g(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}" loading="lazy">, deren Graph den Rand eines <a href="Kreis_(Geometrie)" class="mw-redirect" title="Kreis (Geometrie)">Einheitshalbkreises</a> beschreibt, besitzt die Stammfunktion</li></ul>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mi>arcsin</mi>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle G(x)={\frac {1}{2}}(\arcsin x+x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}})}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0db03456c512b7693a08cdb2f3c2ec967c837e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:34.111ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle G(x)={\frac {1}{2}}(\arcsin x+x\cdot {\sqrt {1-x^{2}}})}" loading="lazy">.</dd></dl></dd>

<dd>Für die Fläche des halben Einheitskreises erhält man somit den Wert

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mi>arcsin</mi>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<mi>arcsin</mi>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{-1}^{1}g(x)\,{\rm {d}}x=G(1)-G(-1)={\frac {1}{2}}\arcsin(1)-{\frac {1}{2}}\arcsin(-1)={\frac {\pi }{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79bf434872f79e773eb34baee1bdaf7e252e3eb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:64.273ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{-1}^{1}g(x)\,{\rm {d}}x=G(1)-G(-1)={\frac {1}{2}}\arcsin(1)-{\frac {1}{2}}\arcsin(-1)={\frac {\pi }{2}}}" loading="lazy">,</dd></dl></dd>

<dd>für die Fläche des ganzen Einheitskreises also den Wert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \pi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \pi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9be4ba0bb8df3af72e90a0535fabcc17431e540a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.332ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \pi }" loading="lazy">.</dd></dl>

Am letzten Beispiel zeigt sich, wie schwierig es sein kann, Stammfunktionen gegebener Funktionen zu finden. Gelegentlich erweitert dieser Prozess die Klasse bekannter Funktionen. Etwa ist die Stammfunktion der auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56420a6ebd07fed2749f2b8884cbf95087951286.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.36ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}" loading="lazy"> definierten Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ce585154e4780be88423541d65e57da942e543e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:9.682ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}" loading="lazy"> keine <a href="Rationale_Funktion" title="Rationale Funktion">rationale Funktion</a>, sondern hängt mit dem <a href="Logarithmus" title="Logarithmus">Logarithmus</a> zusammen und ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln \left|x\right|}">

<mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln \left|x\right|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29fa166eabab158c2403f7eb96910fcc5dc7b32a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.563ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln \left|x\right|}" loading="lazy">.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Herleitung_von_Integrationsregeln">Herleitung von Integrationsregeln</h3></div>

Der Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung erlaubt es, aus <a href="Ableitungsregel" class="mw-redirect" title="Ableitungsregel">Ableitungsregeln</a>, die direkt aus der Definition der Ableitung gefolgert werden können, Integrationsregeln zu gewinnen. Zum Beispiel kann die <a href="Potenzregel" title="Potenzregel">Potenzregel</a> benutzt werden, um Integrale von Potenzfunktionen direkt hinzuschreiben. Interessanter sind Aussagen, die für allgemeinere Klassen von Funktionen gelten. Dabei ergibt sich dann als Übertragung der <a href="Produktregel" title="Produktregel">Produktregel</a> die <a href="Partielle_Integration" title="Partielle Integration">partielle Integration</a>, die deswegen auch Produktintegration genannt wird, und aus der <a href="Kettenregel" title="Kettenregel">Kettenregel</a> die <a href="Integration_durch_Substitution" title="Integration durch Substitution">Substitutionsregel</a>. Erst dies liefert praktikable Verfahren zum Auffinden von Stammfunktionen und damit zur Berechnung von Integralen.

Auch in mit diesen Möglichkeiten und auf diese Weise erstellten Tabellenwerken von Stammfunktionen gibt es allerdings Integranden, für die keine Stammfunktion angegeben werden kann, obwohl das Integral existiert. Die Berechnung muss dann mit anderen mathematischen Werkzeugen erfolgen, beispielsweise mithilfe der <a href="Kurvenintegral#Komplexe_Wegintegrale" title="Kurvenintegral">Integration im Komplexen</a> oder <a href="Numerische_Integration" title="Numerische Integration">numerischer Integration</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Verallgemeinerungen">Verallgemeinerungen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Hauptsatz_für_uneigentliche_Integrale">Der Hauptsatz für uneigentliche Integrale</h3></div>

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty <a<b\leq \infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty <a<b\leq \infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b4ca8f35c32b4c71955e5b986fda985b8f6fa52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.978ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\infty <a<b\leq \infty }" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cd0457373316f50189aaa46e0d5beec41d247f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon {[a,b[}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> eine <a href="Funktion_(Mathematik)" title="Funktion (Mathematik)">Funktion</a>, die über jedem abgeschlossenen Teilintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,\beta ]\subset [a,b[}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,\beta ]\subset [a,b[}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2adf11eab749d67da6fca5b3fee7a29a17b16921.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.543ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,\beta ]\subset [a,b[}" loading="lazy"> Riemann-integrierbar ist, und sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> eine Stammfunktion von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy">, für die der Grenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \lim _{x\nearrow b}F(x)}">

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \lim _{x\nearrow b}F(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8f5beb4d134c4151ec82eb206fac8473f3060d01.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:12.017ex; height:3.009ex;" alt="{\textstyle \lim _{x\nearrow b}F(x)}" loading="lazy"> existiert. Dann existiert auch das <a href="Uneigentliches_Integral" title="Uneigentliches Integral">uneigentliche Integral</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/756d6272701824e61661887f1332dd3347ef5825.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:10.266ex; height:3.676ex;" alt="{\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}" loading="lazy"> und es gilt

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{x\nearrow b}F(x)-F(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4457deea370a2027682be5e3c553e75818fbafc0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:30.49ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{x\nearrow b}F(x)-F(a)}" loading="lazy">.<a href="#cite_note-3">[3]</a></dd></dl>

Mit der abkürzenden Schreibweise <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=\lim _{x\nearrow b}F(x)-F(a)}">

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</munder>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=\lim _{x\nearrow b}F(x)-F(a)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d10caeec1fe49a6a9918f58e7261f9fc57e9deed.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:28.098ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle {\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}:=\lim _{x\nearrow b}F(x)-F(a)}" loading="lazy"> liest sich dies in der gewohnten Form als

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/42bb15d6ed7411fde0578fb7df523f4c2f9ea602.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:22.491ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x={\Big [}F(x){\Big ]}_{a}^{b}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Für Funktionen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R} }">

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef52d7d1d949c02c991d7690ef88cb2689adbfa6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.16ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f\colon {]a,b]}\to \mathbb {R} }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\infty \leq a<b<\infty }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\infty \leq a<b<\infty }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/10587dc1866e23a962654e41d8d2aa48194e593c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:17.978ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle -\infty \leq a<b<\infty }" loading="lazy"> gilt eine entsprechende Aussage.

Für die praktischen Auswertung von uneigentlichen Integralen genügt jedoch der „gewöhnliche“ Hauptsatz: Dieser wird zuerst für das Integral auf einem kompakten Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,\beta ]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,\beta ]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3155f5436744270af2f5155ead239ec58cd00cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.889ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,\beta ]}" loading="lazy"> angewendet, was im Regelfall einen von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7ed48a5e36207156fb792fa79d29925d2f7901e8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.332ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta }" loading="lazy"> abhängigen Ausdruck liefert, und im Anschluss wird der Grenzübergang <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta \to b}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta \to b}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/763bdb8ddc2dda919ae94432a1fe4f2be64bf47d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.944ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta \to b}" loading="lazy"> vollzogen.

<div class="mw-heading mw-heading4"><h4 id="Beispiel">Beispiel</h4></div>

Die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=e^{-x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=e^{-x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d0334e9c82bdd1efc9a9e19440cbf186d34081c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.051ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=e^{-x}}" loading="lazy"> ist auf jedem Intervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [0,\beta ]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [0,\beta ]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/674fc279ca2ffeed24baf18e3de63732f301b1e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.822ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [0,\beta ]}" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \beta >0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \beta >0}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a87dc52878418173659e6d0ff8e77ab2897eac9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.593ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \beta >0}" loading="lazy"> Riemann-integrierbar und hat <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F(x)=-e^{-x}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=-e^{-x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4027199e5124d939da5decc3cd7c11b249aea096.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.321ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F(x)=-e^{-x}}" loading="lazy"> als Stammfunktion. Der Grenzwert <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle \lim _{x\to \infty }-e^{-x}}">

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle \lim _{x\to \infty }-e^{-x}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e01731752d82e2570aded45083b0deea670e0475.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.418ex; height:2.676ex;" alt="{\textstyle \lim _{x\to \infty }-e^{-x}}" loading="lazy"> existiert und hat den Wert null. Mit dem Hauptsatz für uneigentliche Integrale folgt

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}\,\mathrm {d} x=\lim _{x\to \infty }-e^{-x}-(-e^{0})=1.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/630f7820a44dc5b62c0d8f4cca4e1e4027171de7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:37.829ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}\,\mathrm {d} x=\lim _{x\to \infty }-e^{-x}-(-e^{0})=1.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Hauptsatz_für_Lebesgue-Integrale">Der Hauptsatz für Lebesgue-Integrale</h3></div>

In seiner obigen Form gilt der Satz nur für stetige Funktionen, was eine starke Einschränkung bedeutet. Tatsächlich können auch unstetige Funktionen eine Stammfunktion besitzen. Beispielsweise gilt der Satz auch für das Regel- oder Cauchyintegral, bei dem <a href="Regelfunktion" title="Regelfunktion">Regelfunktionen</a> untersucht werden. Diese besitzen an jeder Stelle einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert, können also sehr viele Unstetigkeitsstellen haben. Auch diese Funktionenklasse ist noch nicht ausreichend, daher folgt hier der Hauptsatz für das sehr allgemeine <a href="Lebesgue-Integral" title="Lebesgue-Integral">Lebesgue-Integral</a>.

Ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/535ea7fc4134a31cbe2251d9d3511374bc41be9f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.172ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle I}" loading="lazy"> <a href="Lebesgue-Integral" title="Lebesgue-Integral">Lebesgue-integrierbar</a>, so ist für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/35a5b9f415c090a0c29b6b3452805563bfd3eb9e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.019ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c\in I}" loading="lazy"> die Funktion

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f\,{\rm {d}}\lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61fc7493ed49d8014a8d0629711adbe7c8e09189.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.315ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle F(x)=\int _{c}^{x}f\,{\rm {d}}\lambda }" loading="lazy"> mit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in I}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in I}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dec8caa8f241cb38a5348d7937b538227ad32c48.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.342ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle x\in I}" loading="lazy"></dd></dl>

<a href="Absolut_stetige_Funktion" title="Absolut stetige Funktion">absolut stetig</a> (insbesondere ist sie <a href="Fast_%C3%BCberall" title="Fast überall">fast überall</a> differenzierbar), und es gilt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F'(x)=f(x)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F'(x)=f(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5457591f5410f4bfe3b9c9fa2e50ae665fa2822c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle F'(x)=f(x)}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">-fast überall.

Sei umgekehrt die Funktion <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> absolut stetig. Dann ist <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \lambda }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \lambda }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43d0ea3c9c025af1be9128e62a18fa74bedda2a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.355ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \lambda }" loading="lazy">-fast überall differenzierbar. Definiert man <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> als <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=F'(x)}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=F'(x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/047994df817090bb1c35c11645995e262aa5dd10.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.154ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(x)=F'(x)}" loading="lazy"> für alle <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in [a,b]}" loading="lazy">, in denen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> differenzierbar ist, und identisch null für die anderen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x\in [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x\in [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.725ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x\in [a,b]}" loading="lazy">, so folgt, dass <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.279ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f}" loading="lazy"> Lebesgue-integrierbar ist mit

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f\,{\rm {d}}\lambda .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fb65c4c8205633d88c9872aa702d3be3b993bb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.016ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f\,{\rm {d}}\lambda .}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Der_Hauptsatz_im_Komplexen">Der Hauptsatz im Komplexen</h3></div>

Der Hauptsatz lässt sich auch auf <a href="Kurvenintegral" title="Kurvenintegral">Kurvenintegrale</a> in der <a href="Komplexe_Zahl" title="Komplexe Zahl">komplexen</a> Zahlenebene übertragen. Seine Bedeutung liegt dabei im Gegensatz zur reellen Analysis weniger in der Aussage selbst und ihrer Bedeutung für die praktische Berechnung von Integralen, sondern darin, dass aus ihm drei wichtige Sätze der <a href="Funktionentheorie" title="Funktionentheorie">Funktionentheorie</a> folgen, nämlich der <a href="Cauchyscher_Integralsatz" title="Cauchyscher Integralsatz">cauchysche Integralsatz</a> und daraus dann die <a href="Cauchysche_Integralformel" title="Cauchysche Integralformel">cauchysche Integralformel</a> und der <a href="Residuensatz" title="Residuensatz">Residuensatz</a>. Es sind diese Sätze, die zur Berechnung von komplexen Integralen herangezogen werden.

Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> eine komplexe <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a> mit Parameterintervall <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle [a,b]}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle [a,b]}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.555ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle [a,b]}" loading="lazy"> und <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> eine komplexe Funktion auf der offenen Menge <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy">, die den Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> enthält. Ferner sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle F}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle F}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/545fd099af8541605f7ee55f08225526be88ce57.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.741ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle F}" loading="lazy"> komplex differenzierbar auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle U}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle U}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.783ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle U}" loading="lazy"> und stetig auf dem Abschluss von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy">. Dann ist

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</msup>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{\gamma }F'(z)\,{\rm {d}}z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b4785a3b24f9a2396cc6a730bb79232d627380d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.671ex; width:33.026ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle \int _{\gamma }F'(z)\,{\rm {d}}z=F(\gamma (b))-F(\gamma (a)).}" loading="lazy"></dd></dl>

Insbesondere ist dieses Integral null, wenn <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \gamma }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \gamma }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.262ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \gamma }" loading="lazy"> eine geschlossene Kurve ist. Der Beweis führt das Integral auf reelle Integrale von Realteil und Imaginärteil zurück und benutzt den reellen Hauptsatz.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mehrdimensionale_Verallgemeinerungen">Mehrdimensionale Verallgemeinerungen</h3></div>

Abstrakt gesprochen hängt der Wert eines Integrals auf einem Intervall nur von den Werten der Stammfunktion am Rand ab. Dies wird auf höhere Dimensionen durch den <a href="Gau%C3%9Fscher_Integralsatz" title="Gaußscher Integralsatz">gaußschen Integralsatz</a> verallgemeinert, der das <a href="Volumenintegral" title="Volumenintegral">Volumenintegral</a> der <a href="Divergenz_eines_Vektorfeldes" title="Divergenz eines Vektorfeldes">Divergenz eines Vektorfeldes</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathrm {F} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathrm {F} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fd88ce01cebb719c991531bf9a76dacc204f6d1a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.518ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathrm {F} }" loading="lazy"> mit einem Integral über den Rand in Verbindung bringt.

Es sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4f723d3f8e37ae840ea12ea8fc56c164519daff8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.782ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{n}}" loading="lazy"> <a href="Kompakter_Raum" title="Kompakter Raum">kompakt</a> mit abschnittsweise glattem Rand <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle S}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle S}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.499ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle S}" loading="lazy">, der Rand sei orientiert durch ein äußeres Normalen-Einheitsfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {n}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a335ed1f78355d3249cd2d36624e011af256b815.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle {\rm {n}}}" loading="lazy">, ferner sei das Vektorfeld <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {F}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {F}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7dd5501dcca3fe7e24034c77d54fa1791fe31d4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.518ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\rm {F}}}" loading="lazy"> stetig auf <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy"> und <a href="Stetig_differenzierbar" class="mw-redirect" title="Stetig differenzierbar">stetig differenzierbar</a> im <a href="Innerer_Punkt" title="Innerer Punkt">Inneren</a> von <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/af0f6064540e84211d0ffe4dac72098adfa52845.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.787ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle V}" loading="lazy">. Dann gilt:

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\rm {F}}\;{\rm {d}}V=\oint _{\partial V}{\rm {F}}\cdot {\rm {d}}{\rm {S}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a5f928fcf97f5854014b03909ba50468837abe53.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:24.96ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} {\rm {F}}\;{\rm {d}}V=\oint _{\partial V}{\rm {F}}\cdot {\rm {d}}{\rm {S}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Noch allgemeiner betrachtet der <a href="Satz_von_Stokes" title="Satz von Stokes">Satz von Stokes</a> Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten. Sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.442ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle M}" loading="lazy"> eine orientierte <a href="Dimension_(Mathematik)" title="Dimension (Mathematik)"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy">-dimensionale</a> <a href="Differenzierbare_Mannigfaltigkeit" title="Differenzierbare Mannigfaltigkeit">differenzierbare Mannigfaltigkeit</a> mit abschnittsweise <a href="Mannigfaltigkeit_mit_Rand" title="Mannigfaltigkeit mit Rand">glattem Rand</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \partial M}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial M}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8456299e2b600f44f5aa08920be090af1b35e013.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.76ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \partial M}" loading="lazy"> mit induzierter <a href="Orientierung_(Mathematik)" title="Orientierung (Mathematik)">Orientierung</a>. Dies ist für die meisten anschaulichen Beispiele, wie die Vollkugel mit Rand (Sphäre), gegeben. Ferner sei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \omega }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \omega }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.446ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \omega }" loading="lazy"> eine stetig differenzierbare <a href="Differentialform" title="Differentialform">Differentialform</a> vom Grad <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n-1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n-1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fbd0b0f32b28f51962943ee9ede4fb34198a2521.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:5.398ex; height:2.343ex;" alt="{\displaystyle n-1}" loading="lazy">. Dann gilt

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \int _{M}{\rm {d}}\omega =\int _{\partial M}\omega ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/34f28c1d00c390ba55cedf6b39346ab4a339b632.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:16.139ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \int _{M}{\rm {d}}\omega =\int _{\partial M}\omega ,}" loading="lazy"></dd></dl>

wobei <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\rm {d}}}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\rm {d}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/131ddaf404e27a571e1fb27b43e3f515d884a3d9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\rm {d}}}" loading="lazy"> die <a href="Cartan-Ableitung#Äußere_Ableitung" class="mw-redirect" title="Cartan-Ableitung">Cartan-Ableitung</a> bezeichnet.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>C. H. Edwards Jr.: The Historical Development of the Calculus. Springer, New York 1979.</li>

<li><a href="Otto_Forster" title="Otto Forster">Otto Forster</a>: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. 12. Auflage. Springer, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11545-6.</li>

<li><a href="Harro_Heuser" title="Harro Heuser">Harro Heuser</a>: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, insbesondere S. 450–453, 462–463.</li>

<li><a href="Konrad_K%C3%B6nigsberger" title="Konrad Königsberger">Konrad Königsberger</a>: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4, insbesondere S. 197–198.</li>

<li>H. A. Priestley: Introduction to Complex Analysis. Revised edition. Oxford Science Publications, 1995.</li>

<li>O. A. Hernandez Rodriguez, J. M. Lopez Fernandez: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.maa.org/press/periodicals/convergence/teaching-the-fundamental-theorem-of-calculus-a-historical-reflection-introduction">Teaching the Fundamental Theorem of Calculus: A Historical Reflection.</a> In: Loci: Convergence. (<a href="Mathematical_Association_of_America" title="Mathematical Association of America">MAA</a>), Januar 2012.</li>

<li><a href="Sylvestre_Lacroix" class="mw-redirect" title="Sylvestre Lacroix">Sylvestre François Lacroix</a>: Einleitung in die Differential- und Integral-Rechnung. Reimer, Berlin 1833 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:061:1-499989">Digitalisat</a>)</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"></div><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Hauptsatz_der_Differential-_und_Integralrechnung" class="extiw external" title="b:Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung">Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</a> – Lern- und Lehrmaterialien</div>

<ul><li>G. Wittstock: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node83.html">Hauptsatz der Integral- und Differential-Rechnung.</a> Analysis-I-Skript (Html), Universität des Saarlandes.</li>

<li>J. Cleven: <a rel="nofollow" class="external text" href="ftp://www.inf.fh-dortmund.de/pub/professors/cleven/kapitel5.pdf">Kapitel 5 Integralrechnung.</a> Analysis-Skript, Fachhochschule Dortmund.</li>

<li>Video: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://av.tib.eu/media/11443">Die „Hauptsatzmaschine“ – Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung</a>. <a href="IWF_Wissen_und_Medien" title="IWF Wissen und Medien">Institut für den Wissenschaftlichen Film</a> (IWF) 1983, zur Verfügung gestellt von der <a href="Technische_Informationsbibliothek" class="mw-redirect" title="Technische Informationsbibliothek">Technischen Informationsbibliothek</a> (TIB), <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.3203/IWF%2FC-1489">10.3203/IWF/C-1489</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> T. Arens et al.: <cite style="font-style:italic">Mathematik</cite>. 4. Auflage. Springer, Berlin 2018, ISBN 978-3-8274-2347-4, S. 386, 389.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalsatz+der+Analysis&rft.au=T.+Arens+et+al.&rft.btitle=Mathematik&rft.date=2018&rft.edition=4.&rft.genre=book&rft.isbn=9783827423474&rft.pages=386%2C+389&rft.place=Berlin&rft.pub=Springer" style="display:none">

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> John J. O’Connor, <a href="Edmund_Robertson" title="Edmund Robertson">Edmund F. Robertson</a>: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gregory/">James Gregory.</a> In: <a href="MacTutor_History_of_Mathematics_archive" title="MacTutor History of Mathematics archive">MacTutor History of Mathematics archive</a> (englisch)..

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Steffen Timmann: <cite style="font-style:italic">Repetitorium der Analysis Teil 1</cite>. 2. Auflage. Binomi Verlag, 2003, ISBN 3-923923-50-3, S. 294.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Fundamentalsatz+der+Analysis&rft.au=Steffen+Timmann&rft.btitle=Repetitorium+der+Analysis+Teil+1&rft.date=2003&rft.edition=2.&rft.genre=book&rft.isbn=3923923503&rft.pages=294&rft.pub=Binomi+Verlag" style="display:none">

</li>

</ol>

</div><div><div class="zim-footer">

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